ทฤษฎีบทเศษเหลือ คณิตศาสตร์ ม.3

อุ่นเครื่องหารแล้วเหลือเศษ

17 ÷ 5 ได้ 3 เศษ 2

เขียนได้ว่า 17 = 5 × 3 + 2

พหุนามก็หารแล้วมีเศษได้เหมือนกัน!

การหารพหุนาม

ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร + เศษ

P(x) = (x − c) · Q(x) + R

หารด้วย x − c เศษ R เป็นค่าคงตัว

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

หาร P(x) ด้วย x − c ได้เศษ = P(c)

P(x) = x³ − 2x² + 3x − 5 หารด้วย x − 2

เศษ = 8 − 8 + 6 − 5 = 1

ทำไมเศษจึงเท่ากับ P(c)?

แทน x = c ใน P(x) = (x − c)·Q(x) + R

P(c) = (c − c)·Q(c) + R = 0 + R

ดังนั้น เศษ R = P(c)

ตัวอย่างหาเศษโดยไม่ต้องหาร

หาร P(x) = x³ + 4x² − 5 ด้วย x + 2

x + 2 = x − (−2) → แทน x = −2

P(−2) = −8 + 16 − 5 = 3 → เศษคือ 3

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

ถ้า P(c) = 0 แปลว่าหารลงตัว

ดังนั้น x − c เป็นตัวประกอบของ P(x)

จะลองค่า c จากไหน?

ลองตัวประกอบของพจน์ค่าคงตัว

(เมื่อสัมประสิทธิ์ของ x³ เป็น 1)

เช่น ค่าคงตัว −6 → ลอง ±1, ±2, ±3, ±6

ตัวอย่างแยกตัวประกอบ x³ − 6x² + 11x − 6

ลอง c = 1: P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓

ดังนั้น x − 1 เป็นตัวประกอบ

หารแล้วแยกต่อ: (x − 1)(x − 2)(x − 3)

เสริมหาผลหารแบบลัด: หารสังเคราะห์ (เสริม)

เขียนสัมประสิทธิ์ 1, −6, 11, −6

ดึงตัวแรกลง แล้ว "คูณ c บวกตัวถัดไป" ซ้ำ ๆ

ได้ 1, −5, 6 → ผลหาร x² − 5x + 6 เศษ 0

ตัวอย่างx³ + 2x² − 5x − 6

ลอง x = −1: −1 + 2 + 5 − 6 = 0 ✓ → x + 1 เป็นตัวประกอบ

หารได้ผลหาร x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2)

ตอบ (x + 1)(x + 3)(x − 2)

ระวัง!ระวังเครื่องหมาย!

หารด้วย x + 2 ต้องแทน x = −2 ไม่ใช่ 2

แทนจำนวนลบ ใส่วงเล็บเสมอ: (−2)³ = −8, (−2)² = 4

สรุปสรุป

เคล็ดลับ: "หารด้วย x − c → แทน x = c"

เศษ = P(c) ถ้า P(c) = 0 → x − c เป็นตัวประกอบ

ลองค่าจากตัวประกอบของพจน์ค่าคงตัว