แก้สมการโดยทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ คณิตศาสตร์ ม.3

🧩 บทเรียนคณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาปีที่ 3 · หน่วย: สมการกำลังสองตัวแปรเดียว · ตัวชี้วัด ค 1.3 ม.3/2

📖 เรียนบทนี้ (มีภาพเคลื่อนไหวและเสียง)🎮 เล่นเกมแบบฝึกหัด

เนื้อหาบทเรียน: แก้สมการโดยทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

อุ่นเครื่องถ้าแยกตัวประกอบไม่ออกล่ะ?

x² − 4x − 1 = 0

หาจำนวนเต็มที่คูณได้ −1 บวกได้ −4 ไม่มีเลย!

วันนี้มีวิธีใหม่: ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

สมการรูป x² = k

k > 0 → x = ±√k (สองคำตอบ)

k = 0 → x = 0

k < 0 → ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

สมการรูป (x + p)² = k

ถอดรากทั้งสองข้าง: x + p = ±√k

(x − 1)² = 9 → x − 1 = ±3

x = 4 หรือ x = −2

กำลังสองสมบูรณ์

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

มองเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส: x² + 3x + 3x + 9

ชิ้นมุม 9 ทำให้เต็มพอดี

เติมให้เต็ม: บวก (b/2)²

ค่าที่ต้องเติม = (ครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ x)²

x² + 10x → เติม (10/2)² = 25

ได้ x² + 10x + 25 = (x + 5)²

ขั้นตอนการแก้

ทำทีละขั้น ช้าแต่ชัวร์

ตัวอย่างวิธีที่ 2: กำลังสองสมบูรณ์

x² + 6x − 7 = 0

x² + 6x + 9 = 16 → (x + 3)² = 16

x + 3 = ±4 → x = 1 หรือ −7

ตัวอย่างx² − 4x − 1 = 0

x² − 4x = 1 → บวก 4 ทั้งสองข้าง

x² − 4x + 4 = 5 → (x − 2)² = 5

x − 2 = ±√5 → x = 2 ± √5

ตัวอย่างเมื่อ a ≠ 1

2x² + 8x − 10 = 0 → หาร 2: x² + 4x − 5 = 0

x² + 4x + 4 = 5 + 4 → (x + 2)² = 9

x + 2 = ±3 → x = 1 หรือ x = −5

ระวัง!ลืม ±

(x − 2)² = 9

✗ x − 2 = 3 → x = 5 อย่างเดียว

✓ x − 2 = ±3 → x = 5 หรือ x = −1

สรุปสรุป

เคล็ดลับ: "ครึ่งแล้วยกกำลัง"

บวก (b/2)² ทั้งสองข้าง → (x + b/2)² = k

ถอดรากอย่าลืม ±

แบบฝึกหัด แก้สมการโดยทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ พร้อมเฉลย

x² + 8x + ☐ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ☐ คือ
- ก. 4
- ข. 64
- ค. 8
- ง. 16
ดูเฉลย
ตอบ: 16 — (8/2)² = 4² = 16
คำตอบของ (x + 1)² = 16 คือ
- ก. 15, −17
- ข. −3, 5
- ค. 3, 5
- ง. 3, −5
ดูเฉลย
ตอบ: 3, −5 — x + 1 = ±4 → x = 3 หรือ −5
x² − 12x + ☐ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ☐ คือ
- ก. 12
- ข. 36
- ค. 6
- ง. 144
ดูเฉลย
ตอบ: 36 — (12/2)² = 36
x² + 10x + 25 เขียนได้เป็น
- ก. (x + 25)²
- ข. (x + 5)²
- ค. (x − 5)²
- ง. (x + 10)²
ดูเฉลย
ตอบ: (x + 5)²
คำตอบที่เป็นจำนวนบวกของ x² = 49 คือ
ดูเฉลย
ตอบ: 7
คำตอบของ (x − 3)² = 25 คือ
- ก. −8, 2
- ข. 28, −22
- ค. 8, −2
- ง. 8, 2
ดูเฉลย
ตอบ: 8, −2 — x − 3 = ±5
คำตอบของ x² + 2x − 2 = 0 คือ
- ก. −1 ± √2
- ข. −2 ± √3
- ค. −1 ± √3
- ง. 1 ± √3
ดูเฉลย
ตอบ: −1 ± √3 — x² + 2x + 1 = 3 → (x + 1)² = 3
คำตอบของ x² − 6x + 4 = 0 คือ
- ก. 3 ± √13
- ข. 6 ± √5
- ค. 3 ± √5
- ง. −3 ± √5
ดูเฉลย
ตอบ: 3 ± √5 — x² − 6x + 9 = 5 → (x − 3)² = 5
จริงหรือไม่: สมการ (x + 2)² = −4 มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
ดูเฉลย
ตอบ: ไม่จริง — จำนวนจริงยกกำลังสองติดลบไม่ได้
จาก x² + 6x = 16 ต้องบวกจำนวนใดทั้งสองข้างจึงได้กำลังสองสมบูรณ์
ดูเฉลย
ตอบ: 9 — (6/2)² = 9

อยากฝึกต่อ? เล่นเกมแบบฝึกหัดบทนี้ ได้คะแนนและดาวทันที

บทนี้อยู่ใน คณิตศาสตร์ ม.3 หน่วย “สมการกำลังสองตัวแปรเดียว” · ครูและผู้ปกครองพิมพ์ใบงานได้ฟรี