ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด คณิตศาสตร์ ม.3

อุ่นเครื่องขายของอย่างไรได้กำไรมากที่สุด?

ตั้งราคาถูกไป ขายได้มากแต่กำไรน้อย

ตั้งราคาแพงไป ขายได้น้อย

กำไรจึงเป็นกราฟพาราโบลาคว่ำ!

ค่าต่ำสุด และ ค่าสูงสุด

ค่าสูงสุด/ต่ำสุด = ค่า y ของจุดวกกลับ

a > 0 (หงาย) → มีค่าต่ำสุด ไม่มีค่าสูงสุด

a < 0 (คว่ำ) → มีค่าสูงสุด ไม่มีค่าต่ำสุด

อ่านจากรูป a(x − h)² + k

ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดคือ k เกิดเมื่อ x = h

y = 3(x − 1)² + 5 → ค่าต่ำสุด 5 เมื่อ x = 1

y = −(x + 2)² + 6 → ค่าสูงสุด 6 เมื่อ x = −2

ตัวอย่างค่าสูงสุด

y = −x² + 4 → คว่ำ จุดวกกลับ (0, 4)

ค่าสูงสุด = 4

ตัวอย่างy = x² + 4x + 7

a = 1 > 0 → มีค่าต่ำสุด

x = −4/2 = −2 → y = 4 − 8 + 7 = 3

ค่าต่ำสุดคือ 3 เมื่อ x = −2

ขั้นตอนโจทย์ค่าสูงสุด–ต่ำสุด

เขียนสิ่งที่ถามเป็นฟังก์ชันกำลังสอง

หาจุดวกกลับ

ตอบค่า y พร้อมหน่วย

ตัวอย่างรั้วล้อมได้พื้นที่มากที่สุด

รั้วยาว 20 ม. ล้อมสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง x ยาว 10 − x

A = x(10 − x) = −x² + 10x → x = 5

พื้นที่มากที่สุด 25 ตร.ม. (เป็นจัตุรัส 5 × 5)

ตัวอย่างลูกบอลสูงที่สุด

h = −5t² + 20t

t = −20 ÷ (2 × (−5)) = 2 วินาที

h = −20 + 40 = 20 → สูงที่สุด 20 เมตร

ตัวอย่างผลคูณมากที่สุด

สองจำนวนรวมกันได้ 12 ผลคูณมากที่สุดเท่าใด

P = x(12 − x) = −x² + 12x → x = 6

P = 6 × 6 = 36

ระวัง!ตอบค่า y ไม่ใช่ค่า x!

h = −5t² + 20t สูงที่สุดเมื่อ t = 2

แต่ความสูงสูงสุดคือ h = 20 เมตร (ไม่ใช่ 2)

อ่านให้ดีว่าโจทย์ถาม "เมื่อไร" หรือ "เท่าไร"

สรุปสรุป

เคล็ดลับ: "หงายยิ้ม = ต่ำสุด, คว่ำบึ้ง = สูงสุด"

จุดวกกลับ x = −b/2a