เส้นสัมผัสวงกลม คณิตศาสตร์ ม.3

อุ่นเครื่องล้อแตะถนน

ล้อจักรยานแตะพื้นถนนที่จุดเดียว

พื้นถนนเปรียบได้กับ "เส้นสัมผัส" ของวงล้อ

เส้นสัมผัสคืออะไร

เส้นตรงที่พบวงกลมเพียงจุดเดียว

จุดนั้นเรียกว่า จุดสัมผัส

ต่างจากเส้นตรงที่ตัดวงกลม 2 จุด

เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี

รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส

ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ (90°)

เส้นสัมผัสจากจุดภายนอก

จากจุด P นอกวงกลม ลากเส้นสัมผัสได้ 2 เส้น

PA = PB (ยาวเท่ากัน)

OP แบ่งครึ่งมุม APB

ตัวอย่างหาความยาวเส้นสัมผัส

รัศมี OA = 6 ซม. PO = 10 ซม. PA สัมผัสวงกลมที่ A

OA ⊥ PA → △OAP เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

PA = √(10² − 6²) = √64 = 8 ซม.

ตัวอย่างมุมระหว่างเส้นสัมผัสสองเส้น

PA, PB สัมผัสวงกลม ∠APB = 50°

สี่เหลี่ยม OAPB: 90° + 90° + 50° + ∠AOB = 360°

∠AOB = 130°

ตัวอย่างใช้ PA = PB

PA = 3x − 2 และ PB = x + 6

3x − 2 = x + 6 → 2x = 8 → x = 4

PA = 3(4) − 2 = 10

เสริมมุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด (เสริม)

มุมที่เส้นสัมผัสทำกับคอร์ด ณ จุดสัมผัส

เท่ากับมุมในส่วนโค้งที่อยู่ "อีกฝั่ง" ของคอร์ด

ตัวอย่างใช้มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด (เสริม)

เส้นสัมผัสที่ A ทำมุมกับคอร์ด AB เป็น 40°

C อยู่บนส่วนโค้งอีกฝั่งของคอร์ด AB

∠ACB = 40°

ระวัง!มุมฉากอยู่ที่จุดสัมผัส

ใน △OAP มุมฉากอยู่ที่ A (จุดสัมผัส)

ไม่ใช่ที่ O หรือ P

OP จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวที่สุด

สรุปสรุป

เคล็ดลับ: "สัมผัสตั้งฉากรัศมี"

เส้นสัมผัสจากจุดภายนอก 2 เส้นยาวเท่ากัน

เสริม: มุมสัมผัส–คอร์ด = มุมในส่วนโค้งอีกฝั่ง